Der Test ist ganz einfach. Da braucht's keine Subdomain.
Ich habe auch nur das Standard-Template "Expert" genommen, Version: 1.3.12, und Astroid-Framework Version: 2.6.4. (Also das, was vor ca. 2 Wochen bei Joomlaplates angeboten wurde.)
Dort habe ich die beiden Logos eingebunden, fertig.
(Logos, siehe Anfangs-Post)

Ich kann das Problem nicht nachvollziehen.
In allen von mir getesteten Versionen funktioniert es ohne Probleme.
Ohne Onlinezugriff kann ich leider nicht mehr weiterhelfen.

Danke für die Zugangsdaten. Die Ursache war tatsächlich das völlig überdimensionierte Logo mit 2100 x 758 Pixel.
Das kann so nicht funktionieren, da alles responsiv in einem vernünftigen Verhältnis stehen muss.
Nachdem das Logo nun proportional auf 213px × 75px geändert wurde passt es.
Das bisherige Logo hat nun am Ende des Dateinamens gross stehen und ist im Medienordner noch vorhanden.

Vielen Dank für die Mühe. Das Logo war in dieser Testumgebung tatsächlich noch zu groß. In der Entwicklungsumgebung hatte ich es schon verkleinert. Das löst das Hamburger-Problem, immerhin.

Aber: Warum, und das war ja meine eigentliche Frage zuletzt, kommt das mobile Logo nicht sofort zum Einsatz, wenn auf das Hamburger-Menü umgeschaltet wird? Das Layout ist dann ja das mobile. Im mobilen Layout würde ich mit dem mobilen Logo die Breite mehr nutzen.
Gibt es für dieses Verhalten einen einleuchtenden Grund?

Das zu verwendende Logo steht in Abhängigkeit zur verwendeten Display-Breite und diese Werte sind fest eingetragen. Ein mobile Logo soll erst dann erscheinen, wenn die kleinste Displaygröße erreicht wird. So soll auf einer Tabletbreite das größere Logo immer noch sichtbar sein, weil halt noch genügend Platz dafür vorhanden ist. Das Hamburger Menü wird früher angezeigt, da man sonst je nach Anzahl der Menüpunkte ein Übereinanderschieben der Menüs riskieren würde. Dies ist dem responsiv Verhalten geschuldet und bei allen Templates der Fall.

OK. Habe verstanden. Ich kann damit leben, auch wenn ich es im Übergangsbereich anders logischer und in meinem Fall passender fände.
Vielen Dank für die schnelle Bearbeitung.